تبلیغات
ریاضی
 
ریاضی
یکشنبه 2 بهمن 1390 :: نویسنده : علی روانگرد

خطوط موازی

دو خط واقع بر یک صفحه را موازی می گوییم هر گاه آن دو خط بر هم منطبق باشند و یا هیچ نقطه ی مشترکی نداشته باشند .مانند دو خط1 d و2 d که با هم موازیند.

می نویسیم:

میخوانیم: خط های 1 d و 2 d با هم موازیند.

توضیح تصویری:

چهار ضلعی ها:

هر چهار ضلعی دارای چهار ضلع و چهار رأس می باشد.

دو ضلع چهار ضلعی که در یک رأس مشترک باشند دو ضلع مجاور نام دارد.

دو ضلع که نقطه مشترک ندارند ، دو ضلع مقابل نام دارد.

انواع چهار ضلعی ها :

1) متوازی الاضلاع: چهار ضلعی است که اضلاع آن دو بدو موازی باشند

خواص متوازی الاضلاع : در هر متوازی الاضلاع زاویه های مجاور مکمل اند و زاویه های مجاور مقابل مساویند .

در هر متوازی الاضلاع ضلع های مقابل با هم برابرند.

در هر متوازی الاضلاع قطر ها یکدیگر را نصف می کنند.

2) مستطیل: چهار ضلعی که تمام زاویه های آن قائمه باشد به عبارت دیگر مستطیل متوازی الاضلا عی است که یک زاویه ی قائمه داشته باشد .

خواص مستطیل: چون مستطیل نوعی متوازیالاضلاع است پس تمام خواص متوازی الاضلاع را داراست .

قطر های مستطیل با هم برابرند .

3) لوزی : چهار ضلعی که چهار ضلع آن مساوی باشند لوزی است .

خواص لوزی: چون لوزی نوعی متوازی الاضلاع است پس همه ی خواص متوازی الاضلا ع را داراست .

قطرهای لوزی بر هم عمودند

هر قطر لوزی نیمساز دو زاویه ی مقابل لوزی است .

4) مربع : چهار ضلعی است که چهار ضلع آن مساوی و چهار زاویه ی آن قائمه هستند .

بنابراین مربع هم نوعی لوزی، هم نوعی مستطیل و در نتیجه نوعی متوازی الاضلاع است. پس تمام خواص آن ها را داراست

ذوزنقه : چهار ضلعی است که فقط دو ضلع آن با هم موازی باشند .

در ذوزنقه دو ضلع موازی را قاعده و دو ضلع غیر موازی را ساق های ذوزنقه می گویند

خواص ذوزنقه: در ذوزنقه زاویه های مجاور به هر ساق مکمل یکدیگرند

انواع ذوزنقه :

ذوزنقه قائم الزاویه : ذوزنقه ای است که یک ساق آن بر دو قاعده عمود شده باشد

ذوزنقه متساوی الساقین : ذوزنقه ای است که دو ساق آن با هم برابر باشد .

1- مجموع زاویه های داخلی هر چهار ضلعی 360 است

A+B+C+D=۳۶۰

2- مجموع زاویه های خارجی هر n ضلعی 360 است .

3- هر گاه از رئوس یک چهار ضلعی چهار خط به موازات قطرها آن رسم کنیم متوازی الاضلا عی بدست می آید که مساحت آن دو برابر مساحت چهار ضلعی اولیه می باشد .

4- مجموع زوایای داخلی هر n ضلعی از دستور 180×( 2 n -) بدست می آید (n ضلعی محدب)

مثال Å مجموع زوایای داخلی یک هشت ضلعی را بدست آورید .

1080 = 180×6= 180×(2-8)

5- اگز خطی دو خط موازی را قطع کند 8 زاویه به وجود می آید : که کلیه ی زاویه های تند باهم و کلیه ی زاویه ها ی باز با هم مساویند .

þتست1:

در شکل زیرAx موازی با By می باشد ، اندازه ی زاویه c چند درجه است .

د) 95 درجه

ج) 90 درجه

ب) 75 درجه

الف) 85 درجه


þ تست2:

مجموع زوایای خارجی یک n ضلعی با مجموع زوایای داخلی آن مساوی است . n برابر است با :

د) 8

ج) 4

ب) 6

الف) 5


þ تست3:

مجموع زاویه ها ی یک 5 ضلعی ستاره ای شکل چند درجه است؟

د) 360 درجه

ج) 270 درجه

ب) 180درجه

الف) 240 درجه


þ تست4:

وسط های اضلاع یک لوزی را متوالیاً به هم وصل می کنیم . شکل حاصل کدام است؟

د) متوازی الاضلاع

ج) مستطیل

ب ) مربع

الف) لوزی


þ تست5:

در شکل زیر مقدار x برابر کدام گزینه است ؟ ( d۱ || d۲ )

د) 45 درجه

ج) 55 درجه

ب) 50 درجه

الف) 65 درجه


þ تست6:

در یک ذوزنقه متساوی الساقین قاعده کوچک با هر ساق برابر است و قاعده ی بزرگ دو برابر هر یک از آن ها است . اندازه زاویه ی حاده این ذوزنقه چند درجه است ؟

د) 75 درجه

ج) 60 درجه

ب) 45 درجه

الف) 30 درجه


þ تست7:

در شکل زیر چهار ضلعی ABCD مربع و مثلث FDC متساوی الاضلاع است مقدار زاویه ی X چقدر است؟

د) 15 درجه

ج) 5/ 22درجه

ب) 75 درجه

الف) 30 درجه

جواب تست ها

þ تست1 :

در شکل زیر Ax موازی با By می باشد ، اندازه ی زاویه c چند درجه است .

ü الف) 85 درجه

ب) 75 درجه

ج) 90 درجه

د) 95 درجه

حل : گزینه الف از C خطی به موازی Ax و By رسم می کنیم.


þ تست2 :مجموع زوایای خارجی یک n ضلعی با مجموع زوایای داخلی آن مساوی است. n برابر است با :

د) 8

ü ج) 4

ب) 6

الف) 5

حل : گزینه ج


þ تست3 :مجموع زاویه ها ی یک 5 ضلعی ستاره ای شکل چند درجه است ؟

الف) 240 درجه

ü ب) 180درجه

ج) 270 درجه

د) 360 درجه

حل : گزینه ب

مثلث ABC را در نظر بگیرید .


þ تست4 : وسط های اضلاع یک لوزی را متوالیاً به هم وصل می کنیم . شکل حاصل کدام است؟

د) متوازی الاضلاع

ü ج) مستطیل

ب ) مربع

الف) لوزی

حل : گزینه ج


þ تست5 : در شکل زیر مقدار x برابر کدام گزینه است ؟ ( d۱ || d۲ )

د) 45 درجه

ü ج) 55 درجه

ب) 50 درجه

الف) 65 درجه

حل : گزینه ج

2X+۲۵+X-۱۰=۱۸۰

3X+۱۵=۱۸۰

3X=۱۶۵

X=۵۵


þ تست6 : در یک ذوزنقه متساوی الساقین قاعده کوچک با هر ساق برابر است و قاعده ی بزرگ دو برابر هر یک از آن ها است . اندازه زاویه ی حاده این ذوزنقه چند درجه است ؟

د) 75 درجه

ü ج) 60 درجه

ب) 45 درجه

الف) 30 درجه

حل : گزینه ج

با توجه به شکل از B به وسط DC وصل می کنیم


þ تست7 :در شکل زیر چهار ضلعی ABCD مربع و مثلث FDC متساوی الاضلاع است مقدار زاویه ی X چقدر است؟

ü د) 15 درجه

ج) 5/ 22درجه

ب) 75 درجه

الف) 30 درجه

حل : گزینه د

با توجه به شکل





نوع مطلب :
برچسب ها :
جمعه 30 دی 1390 :: نویسنده : علی روانگرد

معماهای انیشتین

معماهایی كه انیشتین مطرح كرده خیلی جالبن. احتمالا بعضی هاشون رو شنیدین. مخصوصا دو تای اولی رو. با ان حال اونا رو هم میذارم شاید كسی ندیده باشه.


1- خرس

شخصی در یكی از سر زمین های غربی با خرسی مواجه شد.در حالی كه هر دو ترسیده بودند شروع به فرار كردند.خرس به سمت غرب و مرد به سمت شمال.
در نقطه ای مرد ناگهان ایستاد و تفنگش را به طرف جنوب نشانه رفت و خرس را مورد هدف قرار داد.
به نظر شما خرس چه رنگی داشته؟
شاید این نكته به شما در رسیدن به جواب كمك كند.اگر خرس 14/3بار سریعتر از مرد به سمت غرب بدود.مرد میتواند به راحتی از جلو به او شلیك كند.گرچه برای به غنیمت بردن خرس او مجبور خواهد بود به جنوب برود.


2- همسایه ها
در محله ای ردیفی از پنج خانه وجود دارد.هر كدام از خانه ها دارای رنگ خاصی هستند.افرادی كه در این خانه ها زندگی می كنند نیز از پنج ملیت متفاوت هستند.هر كدام از حیوان خاصی نگه داری میكنند سیگارهای متفاوتیم ی كشند و به نوشیدنی های متفاوتی علاقه مند هستند.

1.مرد انگلیسی در خانه قرمز زندگی می كند.
2.سوئدی سگ در خانه نگاه می دارد
3. مرد دانماركی چای می نوشد.
4 خانه سبز رنگ در سمت چپ خانه سفید قرار دارد.
5.صاحب خانه سبز قهوه می نوشد.
6.شخصی كه سیگار
pall mallمی كشد پرنده پرورش میدهد.
7.صاحب خانه زرد سیگار
dunhill
می كشد.
8.مردی كه در خانه وسطی زندگی میك ند شیر می نوشد.
9.مرد نروژی در اولین خانه زندگی میك ند.
10.مردی كه سیگار
blends میكشد در كنار مردی كه گربه نگه می دارد زندگی می كند.
11.مردی كه از اسب نگه داری میكند كنار مردی كه
dunhill میكشد زندگی می كند.
12.مردی كه سیگار
blue master میكشد آبجو می نوشد.
13.مرد المانی سیگار
prince میك شد.
14.مرد نروژی كنار خانه آبی زندگی می كند.
15.مردی كه سیگار
blends میكشد همسایه ای دارد كه آب می نوشد.
سؤال این است كه چه كسی ماهی پرورش می دهد؟


3- میهمانی

هشت زوج زن و مرد در یك میهمانی با یك دیگر ملاقات كردند كه به یكدیگر كتاب امانت بدهند.زوجها دارای نام خانوادگی مشترك شغل مشترك و یك اتوموبیل مشترك هستند.ا هركدام رنگ خاصی را می پسندند.
به علاوه ما از موارد زیر نیز با خبر هستیم:

1.دانیلا بلك و شوهرش به عنوان دست فروش كار می كنند.
2.كتاب "سگ آبی" متعلق به زوجی است كه رنگ قرمز را دوست دارند و اتوموبیل آنها فیات است.
3.یان و ویكتوریا رنگ قهوه ای را دوست دارند.
4.استن هوریكز و همسرش هانا سفید را می پسندند.
5.جنی اسمیت و شوهرش سرایدار هستند و اتوموبیل آنها وارتبرگ است.
6.مونیكا و الكساندر كتاب "پدر بزرگ ژورف " را امانت گرفتند.
7.ماتیو و همسرش رنگ صورتی را دوست دارند و كتاب"
mulatka Gabriella" را برای امانت دادن با خود آورده اند.
8.ایرن و اتو حسابدار هستند.
9.كتاب " ما پنج نفر بودیم"توسط كسانی كه ترابانت می راندند به امانت برده شد.
10.سرماك ها هردوخدمتكار هستند و كتاب "
shed stoat" را همراه خود آورده اند.
11.خانم و آقای كوریل هردو پزشك هستند و كتاب قاضی اسلو واكو" را امانت گرفته اند.
12.پول و همسرش رنگ سبز را دوست دارند.
13.ورونیكا و شوهرش آبی را می پسندند.
14.ریك و همسرش كتاب "قاضی اسلو واكو" را آورده اند و اتوموبیل آنها زیگولی است.
15.یك زوج كتاب "
dame commissar" را آورده اند و به جای آن كتاب"multaka Gabriela" را به امانت بردند.
16.زوجی كه اتو موبیل آنها داسیا است رنگ بنفش را دوست دارند.
17.زوجی كه معلم هستند كتاب"
dame commissare" را امانت گرفتند.
18.اتوموبیل زوج كشاورز موسكویك است.
19.پاملا و شوهرش رنو دارند و كتاب "پدر بزرگ ژوزف" را آورده اند.
20. پاملا و شوهرش كتابی را كه آقا و خانم زاك آورده اند به امانت گرفتند.
21.روبرت و همسرش زرد را دوست دارند و كتاب " كمدی مدرن" را امانت گرفته اند.
22.آقا و خانم اسواین مغازه دار هستند.
23.كتاب "كمدی مدرن" متعلق به زوجی است كه اتومو بیل اآنها اسكودا است.
اكنون با توجه به این شرایط اطلاعاتمربوط به هر خانواده را استخراج كنید.


4- كشتی ها

1.كشتی یونانی ساعت 6 حركت میكند و بار آن قهوه است.
2.كشتی وسطی دود كش سیاه دارد.
3.كشتی اسپانیایی ساعت9 حركت میكند.
4.كشتی فرانسوی با دود كش آبی سمت چپ كشتی با بار قهوه قرار دارد.
5.كشتی كه به مارسل می رود سمت راست كشتی است كه كاكائو حمل می كند.
6.كشتی برزیلی به سمت مانیل میرود.
7.كنار كشتی برنج كشتی ای قرار دارد كه دود كش آن سبز است.
8.كشتی ای كه به ژنو می رود ساعت 5 حركت می كند.
9.كشتی اسپانیایی كه ساعت 9 حركت میكند سمت راست كشتی است كه به مارسل میرود.
10.كشتی با دودكش قرمز به هامبورگ می رود.
11.كنار كشتی كه ساعت 7 حركت میكند كشتی با دود كش سفید قرار دارد.
12.كشتی كه در كنار قرار دارد ذرت حمل می كند.
13.كشتی با دود كش سیاه ساعت 7 حركت می كند.
14.كشتی كه ذرت حمل می كند كنار كشتی برنج است.
15.كشتی ای که مقصدش هامبورگ است ساعت 6 حركت می كند.
با این شرایط اطلاعات مربوط به زمان حركت كشتیها و نحوه بارگیری آن ها را مشخص كنید.



5- باغبان ها
پنج دوست كنار یكدیگر باغ دارند.در این باغ ها سه نوع بذر پرورش می دهند.میوه(سیب, گلابی, زرد آلو, گیلاس) سبزی جات(پیاز, هویج, كلم, كدو) و گل (رز, لاله, زنبق ومیخك)

1- آنها مجموعا 12 محصول مختلف پرورش میدهند.
2- هر كس دقیقا 4 محصول دارد.
3- هر محصول در یك باغچه قرار دارد.
4- فقط یك محصول هست كه در 4 باغچه موجود می باشد.
5- فقط در یك باغچه سه نوع بذر كشت شده.
6- فقط در یک باغ فقط یک نوع بذر کاشته شده .
7-گلابی ها فقط در باغ اول و باغ آخر وجود دارند.
8-باغ پل در وسط قرار دارد و لی در آن زنبقی نیست.
9-كسی كه میخك پرورش میدهد دیگر سبزیجات نمی كارد.
10-كسی كه رز دارد كلم پرورش نمی دهد.
11-كسی كه زرد آلو دارد كلم و كدو هم می كارد.
12-اولین باغچه سیب هم دارد.
13-فقط ذز دو باغچه گیلاس وجود دارد.
14-در باغ سام پیاز و گیلاس هست.
15-لوك فقط دو نوع میوه پرورش می دهد.
16-فقط در دو باغ لاله كشت می شود.
17-یك باغ سیب دارد.
18-فقط در یك باغ كه كنار باغ ریك است كلم كشت میشود.
19-باغ سام در دو انتها قرار ندارد.
20-هنك نه سبزی می كارد و نه میخك.
21-پل سه نوع سبزی دارد.
محصولات هر كدام از باغبان ها را مشخص كنید.

توضیح: انواع بذر(3 تا): میوه, سبزی, گل
انواع محصول (12 تا): سیب, گلابی, زرد آلو, گیلاس, پیاز, هویج, كلم, كدو





نوع مطلب :
برچسب ها :

نکاتی در رابطه با مجموعه ها

اگر مجموعه ی مرجعM و مجموعه هایی مانند  Aو B وC  مفروض داشته باشیم، برای این مجموعه ها قوانین زیر برقراراست.                                                                                                                                                                                                         
 قانون جابه جایی:                                                                                                     
A∪B∪C =A∪C∪B =B∪C∪A
 A∩B∩C =A∩C∩B =B∩C∩B
2) قانون پخشی:
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C) = (A∪B)∩ (A∪C) 
3) قانون شرکت پذیری:
A∩(B∩C) = (A∩B)∩C
A∪(B∪C) = (A∪B)∪C
4) قانون جذب:
A∩(B∪A) = A
A∪(B∩A) = A
5) قانون شبه جذب:
C∩(B∪Ć) = C∩B
C∪(B∩Ć) = C∪B
6) قوانین دمورگان:
(A∩B)’ = A’∪B’
(A∪B)’ = A’∩B’
درستی مطالب بالا را می توانید با مثال زدن، به خود ثابت کنید.





نوع مطلب :
برچسب ها :
پنجشنبه 29 دی 1390 :: نویسنده : علی روانگرد

آیا میدانید به چه اعدادی دوقلو گویند ؟

کوششی در جهت اثبات حدس اعداد دوقلو است که توسط گلدستون ( Goldston ) و همکارانش ( Hotohashi, Pintz and Yildirim ) ارائه شده است. حدودا یک سال قبل ، اثباتی به وسیله گلدستون و یلدریم ( Yildirim ) مطرح شد اما اشتباهی در آن صورت گرفته بود که توسط گرانویل ( Granville ) و ( Soundararajan ) پیدا شد و آن کوشش بی نتیجه باقی ماند . اما این بار گرانویل اعتقاد دارد با توجه به بررسی های انجام شده تلاشهای گلدستون و همکارانش درست است. گلدستون نیز طی مصاحبه ایی که با Mercury News انجام داده کار 20 ساله اش و تلاش ناموفقی را که داشت بیان نموده و ادعا کرده این بار کار او و همکارانش درست است.

همان طور که می دانید اعداد دو قلو اعداد اولی هستند که در دو واحد با هم اختلاف دارند به عنوان مثال جفت های 3 و 5 از جمله جفت اعداد دو قلوهستند. در واقع این جفت ها به صورت p و p+2 می باشند.

این نام اولین بار توسط پل استکر (1919-1892) به این اعداد داده شد.

هنگامیکه هنوز مسئله چگونگی توزیع اعداد اول دوقلو حل نشده بود وی بران اثبات کرد که مجموع معکوسات این اعداد حتی وقتی که تعداد آنها نامتناهی باشد به عدد خاصی میل می کند. این نتیجه به نام قضیه بران نامیده می شود و عدد B ثابت بران معروف است و تقریبا برابر با 1.902160583104 اسنت .جالب به نظر می رسد که بدانید محاسبات بسیار دقیق توماس نیکلی در سال 1995 برای یافتن ثابت بران باعث آشکار شدن یکی از مشکلات جدی میکروپروسسورهای اینتل شد.

باید توجه کرد که مجموع معکوسات کلیه اعداد اول همگرا نیست که این نتیجه حتی از حکم نامتناهی بودن اعداد اول نیز قویتر است. قضیه بران نشان می دهد که اعداد اول دوقلو در میان کلیه اعداد اول بسیار پراکنده اند.

اما ایا اعداد دوقلو نامتناهی هستند؟ حدس اعداد دوقلو بر این سوال پایه گذاری شده است تعدادجفت اعداد دوقلو نامتناهی هستند.

اگر چه این مساله بیش از صد ساله است که شناخته شده اما همچنان حل نشده باقی مانده است.هاردی و رایت (1979) با بررسی جزئیات این حدس آن را تصدیق نمودند. البته هاردی و رایت بیان نمودند که اثبات و یا رد این حدس از دسترس ریاضیات کنونی خارج می باشد.

اگر (1)p(n) , .... p دنباله ایی از همه اعداد اول باشند ، آیا تعداد نامتناهی n وجود دارد که تفاضل (p(n+1 و (p(n کمتر از مثلا 10 باشد؟ اگر بتوان این مساله را حل نمود می توان گامی اساسی در جهت حل حدس دو قلو برداشت. اساس اثبات گدستون بر همین پایه است ایده اثبات به این روش فرمول زیر است و در حقیقت پیدا کردن یک کران بالا یا مقداری برای D است.

[(D = lim infn → ∞ [{p(n+1) - p(n)}/log p(n

آنچه از نظریه اعداد اول دانسته می شود این است که D باید کمتر از یک باشد در سال 1926 هاردی و لیتل وود ( Hardy and Littlewood ) با شرط درست بودن فرضیه ریمان تعمیم یافته مقدار 2/3 برای D پیدا کردند ( فرضیه ریمان فرضیه ایی که بیان می کنند قسمت حقیقی کلیه ریشه های تابع زتا ی ریمان که دارای قمست حقیقی مثبت هستند برابر ½ است.) این روند ادامه پیدا کرد تا اینکه تقریبا دو سال قبل گلدستون و یلدریم نشان دادند که این مقدار مساوی صفر است البته همان طور که اشاره شد آن اثبات اشتباهی داشت که اکنون آن را تصحیح کرده اند.





نوع مطلب :
برچسب ها :
پنجشنبه 29 دی 1390 :: نویسنده : علی روانگرد

هندسه ریمانی

 

هندسه ریمانی شاخه‌ای از هندسه دیفرانسیل است که بررسی خمینه‌های ریمانی می‌پردازد. یک خمینه ریمانی خمینه ایست که مجهز به یک متریک ریمانی می‌باشد یعنی یک ضرب داخلی در فضای مماس بر هر نقطه خمینه که بطور هموار تغییر می‌کند. هندسه ریمانی در قرن نوزدهم توسط برنهارد ریمان پایه گذاری شد. هندسه ریمانی در نظریه نسبیت عام نقش اساسی دارد. هندسه ریمانی مهمترین و پرکاربردترین شاخهٔ هندسه دیفرانسیل می‌باشد.

هندسهٔ ریمانی یعنی هندسه‌ای که در آن فضا و زمان خمیده‌است. مثلا اگر خطی واقع بر سطح یک کره را در نظر بگیرید از هیچ نقطه خارج آن خط نمی‌توان خطی به موازات خط اولیه رسم کرد در حالیکه در هندسهٔ اقلیدسی این کار کاملا ممکن است. در این هندسه مجموع زوایای مثلث کمتر از ۱۸۰ درجه‌است.





نوع مطلب :
برچسب ها :
پنجشنبه 29 دی 1390 :: نویسنده : علی روانگرد

هندسه اقلیدسی

هندسهٔ اقلیدسی به مجموعهٔ گزاره‌هایِ هندسی‌ای اطلاق می‌شود که به بررسی موجودات ریاضیاتی مثل نقطه و خط می‌پردازد و بر پایه‌هائی که اقلیدس ریاضی‌دان یونانی در کتاب خود به‌نام اصول عرضه کرده، بنا شده‌است. این قضایایِ هندسی عمدتاً توسطِ یونانیانِ باستان کشف و توسطِ اقلیدسِ اسکندرانی گردآوری شده‌اند و بخش بزرگی از آن همان است که در دبیرستان‌ها تدریس می‌شود. کتابِ «اصولِ» اقلیدس یکی از بزرگ‌ترین و تأثیرگذارترین کتاب‌ها چه بلحاظِ محتوا و چه از نظرِ روشِ اصلِ موضوعه‌ای‌اش بوده‌است. تا قرن نوزدهم میلادی هر وقت از هندسه سخن می‌رفت منظور هندسه اقلیدسی بود. بررسی مفاهیم هندسه اقلیدسی در دو بعد را «هندسه مسطحه» و در سه بعد «هندسه فضائی» می‌نامند. این مفاهیم را به ابعاد بالاتر از سه نیز می‌توان تعمیم داد و همچنان آن را هندسه اقلیدسی نامید.

تاریخچه

در حدود ۳۰۱ سال قبل از میلاد دنیای هندسه در تب و تاب بود. نظرات مختلفی در زمینهٔ هندسه وجود داشت و سرانجام اقلیدس با انتشار کتاب اصول بنیادی را بنا نهاد که تا قرن‌ها منسجم‌ترین بنیادهای نظری بشر محسوب می‌شود. روش اقلیدس ساده بود او چند اصل موضوع و چند اصل متعارف را بدون اثبات به عنوان اصول بدیهی پذیرفت و سپس بر اساس آن صدها قضیه دیگر را اثبات کرد که بیشتر آن‌ها بسیار دور از ذهن بودند.

اقلیدس شاگرد مکتب افلاطون بود. او در اصول سیزده جلدی خود تمام دانش بشری تا آن زمان گرد آورد و به مدت دو هزار سال مرجعی بی‌بدیل باقی ماند. روش بنداشتی (اصل موضوع) اقلیدس منجر به کاربرد الگویی شد که امروزه به آن ریاضیات محض می‌گوییم. محض از این نظر که با اندیشهٔ محض سر و کار دارد و از راه آزمون خطا و تجربه به دست نمی‌آید و درستی یا نادرستی احکام آن را نیز از راه تجربه نمی‌توان اثبات یا نفی کرد. برای استفاده از روش بنداشتی یا اصل موضوع دو شرط را باید پذیرفت:

  • شرط اول: پذیرفتن احکامی به نام بنداشت یا اصل موضوع که به هیچ توجیه دیگری نیاز نداشته باشند.
  • شرط دوم: توافق بر این‌که کی و چگونه حکمی «به طور منطقی» از حکم دیگر نتیجه می‌شود، یعنی توافق در برخی قواعد استدلال.

کار عظیم اقلیدس این بود که چند اصل ساده، چند حکم که بی‌نیاز به توجیهی پذیرفتنی بودند دست‌چین کرد، و از آن‌ها ۴۶۵ گزاره نتیجه گرفت. زیبایی کار اقلیدس در این است که این همه را از آن اندک نتیجه گرفت.

اصول موضوعه

نوشتار اصلی: اصول موضوعه هندسه اقلیدسی

تمامِ هندسهٔ اقلیدسی (تمامِ قضیه‌هایی که در دبیرستان می‌خوانیم، قضیهٔ فیثاغورس و غیره) می‌توانند از پنج اصلِ موضوعهٔ زیر استخراج شوند:

1.     از هر دو نقطه یک خطِ راست می‌گذرد.

2.     هر پاره‌خط را می‌توان تا بینهایت رویِ خطِ راست امتداد داد.

3.     با یک نقطه به عنوانِ مرکز و یک پاره‌خط به عنوانِ شعاع می‌توان یک دایره رسم نمود.

4.     همهٔ زوایایِ قائمه با هم برابر اند.

5.     اگر یک خط دو خطِ دیگر را قطع کند، آن دو خط در طرفی که جمعِ زوایایِ داخلیِ تولید شده توسطِ خطِ مورب کم‌تر از دو قائمه‌است به هم می‌رسند (خود یا امتدادشان).[۱]

برایِ بیانِ این اصولِ موضوعه به مفاهیمی مانندِ نقطه و خط نیاز داریم. همان‌طور که باید چند گزاره را بدونِ اثبات بپذیریم تا بقیهٔ گزاره‌ها استخراج شوند لازم است چند مفهوم را نیز بدونِ تعریف بپذیریم. به این مفاهیم «تعریف‌نشده‌ها» می‌گویند. همان‌طور که دیده می‌شود اصولِ هندسهٔ اقلیدسی به جز اصلِ پنجم بسیار ساده و بدیهی به نظر می‌آیند. به همین‌دلیل از زمانِ اقلیدس ریاضیدانانِ بیشماری در شرق و غرب (من‌جمله خیام ریاضیدانِ ایرانی) تلاش کرده‌اند اصلِ آزاردهندهٔ پنجم را به اثبات برسانند. این کار همواره شکست خورده‌است. سپس برخی ریاضیدانان تلاش نمودند خلافِ اصلِ پنجم را فرض کنند تا ببینند آیا هندسه‌ای متناقض پدید می‌آید یا نه. از آن‌جا که هیچ تناقضی در هندسه‌هایِ دارایِ اصلِ پنجمِ متفاوت دیده نشد به آن‌ها نامِ هندسه نااقلیدسی را دادند. در نتیجه این مسأله مطرح گردید که تجربه کدام هندسه را تأیید می‌کند. نظریهٔ نسبیت عام به این پرسش پاسخ می‌دهد.

اصول متعارفی دو مقدار مساوی بامقدار سوم با هم مساوی اند.

1.     اگر به دو مقدار مساوی مقادیر مساوی اضافه کنیم، حاصل جمع‌ها با هم مساوی اند.

2.     اگر از دو مقدار مساوی مقادیر مساوی کم کنیم، باقیمانده‌ها با هم مساوی اند.

3.     دو چیز قابل انطباق با هم برابر اند.

4.     کل از جزء بزرگ‌تر است.

پس از اقلیدس

۲۱۰۰ سال پس از اقلیدس هندسهٔ او یگانه هندسهٔ موجود بود. با این وجود در طی این مدت طولانی ریاضی‌دان‌های زیادی کوشیدند اصل پنجم را از روی سایر اصل اثبات کنند که این کوشش‌ها سرانجام به نتیجهٔ دیگری منجر شد و در اوایل قرن نوزدهم هندسه‌های جدیدی به وجود آمد که هندسه‌های نااقلیدسی نامیده می‌شود. هندسه‌ای که تنها بر اساس چهار اصل اول اقلیدس ساخته می‌شود هندسه نتاری نامیده می‌شوند. دیوید هیلبرت در آخرین سال قرن نوزدهم (۱۸۹۹) کتاب «مبانی هندسه» خود را نوشت. هیلبرت در این کتاب صورت‌بندی دقیق‌تری از هندسهٔ اقلیدسی ارائه دارد.





نوع مطلب :
برچسب ها :
پنجشنبه 29 دی 1390 :: نویسنده : علی روانگرد

اعداد کامل

آیا تابحال نام اعداد کامل بگوشتان خورده و با آنها آشنائی دارید ؟ ، اگر این اعداد را می شناسید ، حتما با مروری کوتاه بر تعریف این اعداد موافق هستید و در غیر این صورت فکر میکنم باخواندن مطالب زیر آشنائی ی نسبی با این اعداد و ویژگی های آن پیدا خواهید کرد ، امیدوارم مورد توجه قرار گیرد .

به مجموعه های زیر توجه کنید :

{ 4 ، 2 ، 1 } = مجموعه مقسوم علیه های 4

{6، 3 ، 2 ، 1 } = مجموعه مقسوم علیه های6

{ 12، 6 ، 4 ،3 ، 2 ، 1 } = مجموعه مقسوم علیه های 12

{ 17، 1 } = مجموعه مقسوم علیه های 17

{ 28 ، 14 ، 7 ، 4 ، 2 ، 1 } = مجموعه مقسوم علیه های 28


حال به مجموع مقسوم علیه های هر عدد بجز خودش توجه کنید :

3 = 2 + 1 = مجموع مقسوم علیه های 4 بجز 4

6 = 3 + 2 + 1 = مجموع مقسوم علیه های 6 بجز 6

16 = 6 + 4+3 + 2 + 1 = مجموع مقسوم علیه های 12 بجز 12

1 = مجموع مقسوم علیه های 17 بجز 17

28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1 = مجموع مقسوم علیه های 28 بجز 17

ملاحضه می کنید که مجموع مقسوم علیه های هر عدد بجز خودش ، میتواند کوچکتر از آن عدد ، مانند ( 4 و 17 ) ، برابر با آن عدد ، مانند (6 و 28 ) و یا بزرگتر از آن ، مانند ( 12 ) باشد

از بین اعداد فوق دو عذذ 6 و 28 اعداد کامل هستند ، چون با مجموع تمام مقسوم علیه های کوچکتر از خودشان برابرند .


اگر عددی با مجموع مقسوم علیه های کوچکتر از خودش برابر باشد ، آن عدد را عدد کامل می گویند


نخستین دو عدد کامل ( یعنی 6 و 28 ) از زمانهای بسیاز قدیم شناخته شده بودند . دو عدد کامل بعدی ( 496 و 8128 ) را اقلیدس یافت . پس از هزار و پانصد سال از زمان اقلیدس ، پنجمین عدد کامل ( 33550336 )شناخته شد . تا کنون با استفاده از کامپیوتر های قوی و مجهز ، ریاضیدانان توانسته اند در مجموع 24 عدد کامل را بیابند . جالب است بدانید ، بیست و چهارمین عدد کامل بیش از دوازده هزار رقم دارد .


در مورد اعداد کامل دو پرسش اساسی وجود دارد که تاکنون بدون پاسخ مانده است :

1- آیا مجموعه اعداد کامل ، متناهی است یا نا متناهی ؟

2- آیا اعداد فرد کامل نیز وجود دارند یا خیر ؟





نوع مطلب :
برچسب ها :
چهارشنبه 28 دی 1390 :: نویسنده : علی روانگرد

مثلث

می دانید که هر مثلث دارای اجزایی می باشد

الف) اجزای اصلی: به سه زاویه و سه ضلع هر مثلث اجزای اصلی آن می گویند.

ب) اجزای فرعی: میانه ، ارتفاع ، نیمساز ، عمود منصف ، قاعده و ... اجزای فرعی مثلث هستند.

ارتفاع: خطی که از یک رأس بر ضلع مقابل یا امتداد آن عمود می شود. (AH ارتفاع)


میانه:

خطی که از رأس به وسط ضلع مقابل وصل می شود. (AH میانه)


نیمساز:

خطی که زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند. (AD نیمساز)


عمود منصف:

خطی که به وسط ضلع هر مثلث عمود شود. (خط d عمود منصف BC است)


انواع مثلث:

الف) مثلث متساوی الاضلاع: مثلثی که سه ضلع آن با هم برابرند.


ب) مثلث متساوی الساقین: مثلثی که دو ضلع آن با هم برابرند.


ج) مثلث قائم الزاویه: مثلثی که یک زاویه قائمه داشته باشد.

د) مثلث غیر مشخص: مثلثی که هیچ یک از خصوصیات بالا را نداشته باشد.

> تساوی مثلث ها:

دو مثلث که بر هم منطبق شوند و کاملاً یکدیگر را بپوشانند با هم مساوی هستند. ما با داشتن فقط سه جزء از اجزای اصلی دو مثلث می توانیم ثابت کنیم که دو مثلث با هم برابرند. این سه جزء اصلی باید به صورت زیر باشد:

حالت اول: دو ضلع و زاویه بین آن ها (ض ز ض)

حالت دوم: دو زاویه و ضلع بین آن ها (ز ض ز)

حالت سوم: سه ضلع مساوی (ض ض ض)

مثال 1) در شکل مقابل BC نیمساز زاویه , می باشد. ثابت کنید دو مثلث ABC و BDC برابرند. سپس سایر اجزای متناظر آنرا بنویسید.

این دو مثلث بنابر حالت دو زباویه و ضلع (ز ض ز) با هم مساویند

تساوی اجزای متناظر:

مثال 2) نشان دهید قطرهای مستطیل با هم برابرند.

دو مثلثرا در نظر بگیرید. ابتدا ثابت می کنیم که این دو مثلث با هم برابرند، سپس به کمک تساوی سایر اجزای متناظر نشان می دهیم که AC= BD

1. در مثلث متساوی الساقین دو زاویه مجاور به قاعده با هم برابرند.

AB = AC [ =

2. هر مثلثی که دو زاویه برابر داشته باشد، متساوی الساقین است.

= [ AB = AC

3. در مثلث متساوی الاضلاع ، ارتفاع ، نیمساز ، میانه و عمود منصف بر هم منطبق اند.

4. در هر مثلث متساوی الاضلاع ، ضلع ها ، زاویه ها ، ارتفاع ها ، میانه ها و نیمسازها برابرند.

5. در هر مثلث متساوی الساقین ، دو ضلع برابر ، دو زاویه برابر ، دو نیمساز برابر ، دو ارتفاع برابر ، دو میانه برابر وجود دارد.

6. در مثلث قائم الزاویه ضلع مقابل به زاویه ˚30 ، نصف وتر است.

7. مجموع زاویه های داخل هر مثلث ˚180 می باشد.

8. با داشتن سه زاویه مساوی نمی توان گفت که آن دو مثلث با هم برابرند.

9. در هر مثلث میانه نظیر هر ضلع از نصف مجموع دو ضلع دیگر کوچکتر است.

: تست1?>

1. نسبت زاویه های یک مثلث 1, 1, 2 می باشد ، این مثلث از کدام نوع از انواع مثلث ها می باشد؟

الف) فقط متساوی الساقین

ب) متساوی الاضلاع

ج) قائم الزاویه متساوی الساقین

د) فقط قائم الزاویه


: تست2?>

2. در شکل مقابل 5 =AB و 7 =AC و AM میانه وارد بر BC است. در این صورت:

الف) 6 = AM

ب) 6 < AM

ج) 6 > AM

د) 7 = AM


: تست3 ?>

3. برای تساوی دو مثلث کدام یک از حالات زیر کافی نیست؟

الف) تساوی سه زاویه

ب) تساوی سه ضلع

ج) تساوی دو زاویه و ضلع بین

د) تساوی دو ضلع و زاویه بین


: تست4?>

4. در شکل مقابل E , D و سطهای AC , AB و نقاط N , M و سطهای AD , AE و نقاط K, P و سطهای AM , AN می باشد ، اندازه PK برابر است با:

الف)

ب)

ج)

د)


: تست5 ?>

5. در شکل مقابل ABCD مربع و مثلث متساوی الاضلاع است. زاویه برابر است با:

الف) ˚15

ب) ˚30

ج) ˚25

د) ˚5/12





نوع مطلب :
برچسب ها :
سه شنبه 27 دی 1390 :: نویسنده : علی روانگرد

نیکلای لوبا چفسکی

لباچفسکی طرفدار طرز تفکر مترقی بود. او از درک علمی هندسه دفاع می کرد و کوششهایی را که در جهت انتساب قوانین هندسه به عقل مطلق انجام می گرفت محکوم می کرد. او می گفت :
“ما در طبیعت تنها حرکت را می شناسیم، حرکتی که بدون آن هیچ احساسی ممکن نیست. بدین جهت همه مفاهیم دیگر و مثلا” مفاهیم هندسه به وسیله مغز ما و از خواص حرکت گرفته شده است.”
به همین جهت لباچفسکی با سرسختی و پیگیری این فکر را دنبال می کرد که : “مقدماتی از ریاضی که کوشش میشود از خود فکر و بدون ارتباط با عمل بدست آید برای ریاضیات بی فایده خواهد بود.”
لباچفسکی با متزلزل ساختن خلل ناپذیری اصول هندسه اقلیدسی ضربه سنگینی هم به فلسفه کانت وارد کرد. کانت معتقد بود که بررسی حقایق هندسی نتیجه تجربه انسان نیست، بلکه اشکال ذاتی و غیر قابل تغییر شناخت انسانی هستند و برای این نظریه خود از خلل ناپذیری اصول هندسه اقلیدس بعنوان نقطه اتکای اساسی استفاده می کرد.
اما برعکس برای لباچفسکی تجربه و عمل همواره راهنمای کشف حقایق بود. مثلا” او برای اینکه امکان وجود هندسه ای را که به وسیله خود او کشف شده بود با تحقیق تجربی تایید کند، اقدام به اندازگیری زاویه های مثلثی نمود که راسهای آن ستارگان آسمام بودند.
این طرز تفکر که تنها تجربه و عمل می تواند اطمینان به درستی نتیجه گیری های تئوریک را بوجود آورد از مشخصات جهان بینی لباچفسکی بود که برای او راهنمایی در جهت تحکیم رابطه علم و عمل بود.
او بیش از ۳۰ سال پرفسور دانشگاه قازان بود و حدود ۲۰ سال رئیس این دانشگاه و در یکی از سخنرانی های خود در سال ۱۸۲۸ بیان کرد که :
“این کوشش بیهوده که هر دانشی را تنها از مغز بیرون بکشید، رها کنید. از طبیعت سئوال کنید، طبیعت است که شامل همه حقایق است و به پرسشهای ما بطور صحیح و متقاعد کننده جواب می دهد.« هندسه نا اقلیدسی ، تلاشهای اولیه»

نیکلای ایوانویچ لباچفسکی (Lobachevsky, Nikolay Ivanovich) از جمله اولین کسانی بود که قواعد هندسه اقلیدسی را که بیش از ۲۰۰۰ سال بر علوم مختلف ریاضی و فیزیک حاکم بود درهم شکست. کسی باورش نمی شد هنگامی که اروپا مرکز علم بود شخصی در گوشه ای از روسیه بتواند پایه های هندسه اقلیدسی را به لرزه در بیاورد و پایه های علم در قرن نوزدهم را پی ریزی کند.
خیال نداریم راجع به خود او صحبت کنیم بلکه می خواهیم بطور مختصر بیان کنیم که او چه کرد. در میان اصول هندسه اقلیدسی - که راجع به آنها در آینده صحبت خواهیم کرد - اصلی وجود دارد به اینصورت : “از هر نقطه خارج یک خط نمی توان بیش از یک خط موازی - در همان صفحه ای که خط و نقطه در آن قرار دارند - به موازات آن خط رسم کرد”.
در طول سالها این اصل اقلیدس مشکل بزرگی برای ریاضی دانان بود. چرا که ظاهری شبیه به قضیه داشت تا اصل. مقایسه کنید آنرا با این اصل اقلیدس که می گوید بین هر دو نقطه می توان یک خط راست کشید و یا اینکه همه زوایای قائمه با هم برابر هستند.
حقیقت آن است که بسیاری از ریاضی دانان سعی کردند که این اصل اقلیدس را اثبات کنند اما متاسفانه هرگز این امر ممکن نشد. حتی خیام در برخی مقالات خود سعی در اثبات این اصل کرد اما او نیز همانند سایرین به نتیجه نرسید.
لباچفسکی (۱۷۹۲ - ۱۸۵۶) نیز همانند بسیاری از دانشمندان علوم ریاضی سعی در اثبات این اصل کرد و هنگامی که به نتیجه مطلوب نرسید نزد خود به این فکر فرو رفت که این چه هندسه ای است که بر پایه چنین اصل بی اعتباری استوار شده است. اما لباچفسکی در کوشش بعدی خود سعی کرد تا رابطه میان هندسه و دنیای واقعی را پیدا کند.
او معتقد بود اگر نتوانیم از سایر اصول هندسه اقلیدسی این اصل را ثابت کنیم باید به فکر مجموعه اصول دیگری برای هندسه باشیم. اصولی که در دنیای واقعی حضور دارند. او پس از بررسی های بسیار چنین بیان کرد :
“از هر نقطه خارج یک خط می توان لااقل دو خط در همان صفحه به موازات خط رسم کرد”
هر چند پس از این فرض بنظر می رسید که وی در ادامه به تناقض های بسیاری خواهد رسید اما او توانست بر اساس همین فرض و مفروضات قبلی اقلیدس به مجموعه جدید از اصول هندسی برسد که حاوی هیچگونه تناقضی نباشد. او پایه های هندسه ای را بنا نهاد که بعدها کمک بسیار زیادی به فیزیک و مکانیک غیر نیوتنی نمود.


To create link towards this article on your website,
copy and paste the text below in your page.






نوع مطلب :
برچسب ها :
دوشنبه 26 دی 1390 :: نویسنده : علی روانگرد
تاریخچه پیدایش هندسه:

هندسه یا ژئومتریgeometryاز دو كلمه یونانی ژئو به معنی زمین و متراین به معنی اندازه گیری آمده است زیرا گفته می شود كه هندسه در اصل علم اندازه گیری زمین بوده است.پدید آورندگان هندسه را مساحان مصری میدانند كه مجبور بودند هر سال پس از طغیان رود نیل محدوده زمینها را مجددا مشخص كنند.البته تمدنهای دیگر هم از جمله بابلی ها هندیها چینیها و ایرانیان اطلاعات هندسی زیادی داشتند.بابلیان قضیه فیثاغورث را خیلی پیش از آنكه فیثاغورث به دنیا بیاید میدانستندهمچنین گونه های مختلف مثلث را را میشناختند وعدد πراهم25/3میگرفتند.

پاپیروس رایند:یكی از كهن ترین اسناد ریاضی مصر باستان می باشد كه به كمك آنها روشن میگردد كه مصریها حتی ذر 4000سال قبل می توانستند مساله های عملی در باره جبر و حساب و هندسه را حل كنند.

هندسه پیشینیان مجموعه ای بود از قاعده هایی كه از طریقآزمایش وبررسی شباهتها وحدسها به دست آمده بود اما یونانیان و بویژه تالس اصرار داشتند احكام هندسی را از طریق استدلال ثابت كنند كه به این ترتیب تالس توانست از طریق استدلال نخستین هندسه منطقی را بنا نهد.نظم بخشیدن به هندسه كه با تالس آغاز شد توسط فیثاغورث و یارانش به مدت دو قرن ادامه یافت.

افلاطون در كتاب جمهوری خود می نویسد:مطالعه ریاضیات دستگاه ذهنی را توسعه میدهد وبه كار می اندازد كه ارزش آن از هزار چشم بیشتر است زیرا كه درك حقیقت تنها از راه ریاضیات ممكن است..!

سالها بعداز افلاطون رنه دكارت فرانسوی توانست هندسه تحلیلی را بنا نهاد وبه حكومت مستبدانه چند صد ساله افلاطون بر هندسه پایان دهد البته دانشمندانی چون ارشمیدسهم بودند كه دنبال افكار استبدادی افلاطون نرفتند وبه همین علت شاهكارهای زیادی در ریاضی بوجود آوردند.ارشمیدس توانست به كمك 96ضلعیهای منتظم محاطی و محیطی عدد پی را با دقت زیادی محاسبه كند. همچنین توانست فرمول مساحت سطح وحجم كره را بدست آورد. درواقع ارشمیدس موجد ومكتشف یك شاهكار نبود بلكه بسیاری از شاهكارهای ریاضی مرهون مساعی اوست.

اقلیدس كه شاگرد مكتب افلاطون بود در حدود 300سال قبل از میلاد روش قاطع هندسه یونانی رادر كتاب اصول كه در 13جلد تدوین شده بود منتشر ساخت كه از اولین كتابهایی بود كه به چاپ رسیدو شاهكار اقلیدس مدون ساختن و تنظیم كردن هندسه بود.او كارهای پیشینیان را گرد هم آورد وخود به آن مطالبی افزود وهمه را بر مبنای 5 اصل زیر چنان مرتب كرد كه قرنها بهترین نمونه كار علمی بود. كار بزرگ اقلیدس آن بود كه تنها با انتخاب چند اصل ساده كه بدون هیچ توجیهی پذیرفتنی بودند توانست 465 گذاره را كه بسیاری ازآنها پیچیده هم بودند نتیجه بگیرد.

اصول پنجگانه اقلیدس عبارتند از:

1)از هر دو نقطه متمایز فقط یك خط میگذرد

2)هر پاره خط مانند AB را در یك طرف خود میتوان به اندازه پاره خط دیگر مانند CD ادامه داد.

3)به ازای هر نقطه O وهر نقطه A كه با آن مساوی نباشد دایره ای به مركز O و شعاع OA وجود دارد.

4)همه زاویه های قائمه با یكدیگر قابل انطباق هستند.

5)اگر دو خط بوسیله موربی چنان قطع شوند كه مجموع زاویه های درونی ایجاد شده در یك طرف مورب كمتر از 180درجه باشد اگر این دو خط را بی نهایت ادامه دهیم آنگاه همدیگر را در همان طرف مورب قطع می كنند.

البته بعدها اصل پنجم كه مانند دیگر اصول زیاد هم بدیهی نبود از سوی ریاضی دانان مورد بررسی بیشتر قرار گرفت وتلاش كردند تا آن را اثبات كنند.

تلاش برای اثبات اصل توازی اقلیدس منجر به كشف هندسه نااقلیدسی توسط گاوس،بویوئی،و لوباچوفسكیشد.

هندسه نااقلیدسی خود به دودستههذلولویوبیضوی تقسیم میشود.طرفداران هندسه هذلولوی اعتقاد دارند از هر نقطه خارج از یك خط هیچ خط موازی با آن نمی توان رسم كرد در صورتی كه طرفداران هندسه بیضوی اعتقاد دارند از هر نقطه خارج از یك خط بیش از یك خط موازی آن می توان رسم كرد.





نوع مطلب :
برچسب ها :
دوشنبه 26 دی 1390 :: نویسنده : علی روانگرد

عدد p

اگر مایل باشید چند مطلب جالب راجع به عدد پی

به ایرانی بودن خودتون افتخار کنید!!...چون...

«عدد پی» برای اولین بار توسط «غیاث‌الدین محمود کاشانی»، دانشمند و ریاضی‌دان برجسته‌ی ایرانی به دنیای ریاضی معرفی شد.

او این رقم را تا 15 رقم اعشار با به‌دست آوردن نسبت محیط دایره‌های مختلف به قطر آنان محاسبه کرد.

تا این‌که در سال 1384 (2005 میلادی) بزرگ‌ترین ماشین حساب موجود توسط پروفسور «یاسوماسا کانادا» (Yasumasa Kanada) و تیمی متشکل از محققین ریاضی توانست عدد شگفت‌انگیز را تا 1240000000000 رقم اعشار محاسبه کند.

رکورد قبلی این کار توسط همین پروفسور و در سال 1378 (1999 میلادی) ثبت شده بود. تعداد ارقام این عدد اعجاب‌انگیز در رکورد قبلی 206158000000 بوده است.

عدد پی در خودروها:

شما که در خودروی خودتون نشستید و با سرعت باحالی در جادّه می تازید‌ و به سرعت سنج نگاه می کنید و سرعتتون رو کنترل می کنید ٬ می دونید ماشین شما چقدر محاسبه ریاضی می کنه؟

اوّل محیط تایر رو حساب می کنه بعد ضرب در تعداد دوراش می کنه





نوع مطلب :
برچسب ها :
دوشنبه 26 دی 1390 :: نویسنده : علی روانگرد

اعداد صحیح

 

مجموعهٔ اعداد صحیح به اجتماع مجموعهٔ اعداد طبیعی، قرینهٔ اعداد طبیعی، و {0} (مجموعه ای که تنها عدد صفر عضو آن است) گفته می‌شود. در ریاضیّات، معمولاً این مجموعه را با Z یا (ابتدای کلمه آلمانی Zahlen به معنی اعداد) نشان می‌دهند. همانند مجموعهٔ اعداد طبیعی، مجموعهٔ اعداد صحیح نیز یک مجموعهٔ شمارای نامتناهی‌ست.

شاخه‌ای از ریاضیّات که به مطالعهٔ اعداد صحیح می‌پردازد، نظریهٔ اعداد نام دارد.

خواص جبری

همانند اعداد طبیعی، نیز نسبت به دو عمل جمع و ضرب بسته است. این بدان معناست که حاصل جمع و حاصل ضرب دو عدد صحیح، خود، یک عدد صحیح است. بر خلاف مجموعهٔ اعداد طبیعی، از آنجا که اعداد صحیح منفی، و به ویژه، عدد صفر هم به تعلق دارند، این مجموعه، نسبت به عمل تفریق نیز بسته است. اما تحت عمل تقسیم بسته نیست، زیرا خارج قسمت تقسیم دو عدد صحیح، لزوماً عددی صحیح نخواهد بود.

برخی از خواصّ اساسی مربوط به عملیّات جمع و ضرب در جدول زیر گنجانیده شده است (در اینجا b ،a، و c اعداد صحیح دل‌خواه هستند:)

جمع

ضرب

بسته بودن:

a + b &nbsp؛ یک عدد صحیح است

a × b &nbsp؛ یک عدد صحیح است

شرکت‌پذیری:

a + (b + c)  =  (a + b) + c

a × (b × c)  =  (a × b) × c

تعویض‌پذیری:

a + b  =  b + a

a × b  =  b × a

وجود یک عنصر واحد:

a + 0  =  a

a × 1  =  a

وجود یک عنصر عکس:

a + (−a)  =  0

توزیع‌پذیری:

a × (b + c)  =  (a × b) + (a × c)

نداشتن مقسوم علیه‌های صفر:

اگر ab = 0، آنگاه a = 0 یا b = 0





نوع مطلب :
برچسب ها :
یکشنبه 25 دی 1390 :: نویسنده : علی روانگرد

مجموعه (ریاضی)

مجموعه، از بنداشت‌های (اصول تعریف‌ناپذیر) در ریاضیات است.

به هر گردایه یا دستهٔ مشخص از اشیاء دو به دو متمایز گفته می‌شود. مفهوم مجموعه با وجود سادگی آن از مفاهیم پایه‌ای ریاضی است.

نظریه مجموعه‌ها در اواخر سده ۱۹ مطرح شد و اکنون یکی از بخش‌های اصلی ریاضیات است.

مجموعه گردایه‌ای از اشیاء متمایز است. این اشیاء، عضوها یا عناصر مجموعه نامیده می‌شوند. اعضای یک مجموعه ممکن است هر چیزی باشند. مثلاً اعداد، افراد، حروف الفبا، مجموعه‌ای از حقایق مجموعه‌های دیگر و جز اینها، بنابراین منظور از اشیاء در تعریف مجموعه لزوماً اشیاء مادی نیست بلکه هر نهادی را هرچند انتزاعی و کاملاً ذهنی (همچون اعداد) می‌توان در ریاضیات یک شیء دانست و گردایهٔ آن اشیاء را مجموعه‌ای دانست.

معمولاً مجموعه‌ها را با حروف بزرگ لاتین مانند A، B،C نشان می‌دهیم. دو مجموعهٔ Aو B برابر هستند اگر اعضای آن یکسان باشند.

 تعریف هر مجموعه

یک مجموعه را می‌توان با عباراتی به شکل زیر تعریف کرد:

  • Aمجموعهٔ نخستین ۴ عدد طبیعی است.
  • B مجموعه‌ای است که اعضای آن رنگ‌های پرچم ایران است.

همچنین می‌توانیم اعضای مجموعه را میان دو کروشه قرار دهیم:

  • {۱,۲,۳,۴} = C
  • {سبز، سفید، قرمز} = D

البته دو تعریف گوناگون، هر دو می‌توانند نشان دهنده یک مجموعه باشند. مثلاً برای مجموعه‌هایی که در بالا تعریف کردیم، Aو C یکسان هستند زیرا عناصرشان با هم برابر است (A=C). همچنین به طور مشابه B = D . توجه کنید که در یک مجموعه، جابه‌جایی عناصر و نوشتن اعضای تکراری تأثیری در خواص مجموعه ندارد. به عنوان مثال:

{۱۱,۶}={۶,۱۱}={۶,۱۱,۶,۶}

حال فرض کنید E مجموعهٔ نخستین هزار عدد طبیعی باشد. برای نمایش چنین مجموعه‌های بزرگی (که تعداد اعضای آنها زیاد است)، نوشتن همهٔ عناصر مجموعه غیر عملی است. بنابراین Eرا به طور خلاصه به این شکل نمایش می‌دهیم:

{۱۰۰۰,...,۱,۲,۳} = E

معمولاً این شکل نوشتن برای مجموعه‌هایی به کار می‌رود که اعضای آن الگوی مشخصی را دنبال می‌کنند که برای همه واضح است. اما در مجموعه‌هایی مانند{۴-,۳-,۰,...,۳۵۷ }=F به راحتی نمی‌توان تشخیص داد که "F مجموعهٔ نخستین ۲۰ عددی است که چهار واحد کمتر از مربع عدد دیگری ست". در چنین مواردی برای نمایش اعضای مجموعه از علائم ریاضی استفاده می‌کنیم:

F={n^۲-۴: 0 <= n <= ۱۹} , nЄN

یعنی: F مجموعه اعدادی به شکل n^۲-۴ است به‌طوری که n به اعداد طبیعی بین ۰ و ۱۹ تعلق دارند.

 

 

 

 





نوع مطلب :
برچسب ها :
یکشنبه 25 دی 1390 :: نویسنده : علی روانگرد

ابوریحان بیرونی

ابوریحان بیرونی(362-440هجری قمری) ریاضیدان،منجم،جغرافیدان،فیلسوف و جهانگرد معروف ایرانی، یکی از بزرگترین دانشمندان جهان،به شمار می رود. وی اهل خوارزم بود و چون در بیرون شهر خوارزم،به دنیا آمد،به «بیرونی» معروف شد. او سالهای اولیه عمر خود را در خوارزم گذراند و پس از آن، چند سالی را در دربار ابوالمعالی قابوس وشمگیر سپری کرد. او سپس به خوارزم بازگشت و هنگام لشکرکشی سلطان محمود غزنوی به این شهر، در آنجا بود و همراه سلطان،به غزنه رفت. در هند با دانشمندان آن دیار، معاشرت داشت و زبان «سانسکریت» را آموخت و معلومات خود را باز هم وسعت داد. ابوریحان، دانشمندی محقق، نکته سنج و بسیار با ذوق بود. افکار و عقیده ی وی، بیشتر به دانشمندان عصر حاضر شباهت داشت. از جمله آثار ارزشمند وی، عبارتند از: شرح شمار هندی، مجموع کندمهایی که به تصاعد هندسی در خانه های شطرنج قرار داده شود، ساده کردن تصویر جسم نما جهت تسطیح کُره، تعیین دقیق طول و عرض جغرافیایی شهرها، تحقیق در جرم مخصوص، تعیین جرم مخصوص هجده سنگ گرانبها و فلزات گوناگون. «بیرونی» در سال440هجری قمری و در سن 77 سالگی در شهر غزنه چشم از جهان فرو بست. 





نوع مطلب :
برچسب ها :


آمار وبلاگ
  • کل بازدید :
  • بازدید امروز :
  • بازدید دیروز :
  • بازدید این ماه :
  • بازدید ماه قبل :
  • تعداد نویسندگان :
  • تعداد کل پست ها :
  • آخرین بازدید :
  • آخرین بروز رسانی :

 
 
تمامی حقوق این وبلاگ محفوظ است |طراحی : پیچک
 

تبادل لینک

خرید بک لینک